الجبر للثانوية العامة

* التباديــل والتوافيـــق

أولاً : التباديـــل

تعريف ( 1 ) التبديل : هو كل ترتيب يمكن عمله من مجموعة من الأشياء بأخذ بعضها أو كلها .

تعريف ( 2 ) مبدأ العد : إذا يمكن إجراء عملية بإحدى طرق مختلفة عد هام وكان لدينا فى نفس الوقت عملية أخرى يمكن إجراؤها بطرق عددها ن فإن عدد الطرق التي يمكن بها إجراء المليتين معاً يساوى م x ن .

قوانين التباديل : بفرض ن ، ر э ص + :

1- عدد التباديل الناتجة من اختيار ر عنصرين من بين ن عنصر حيث : ر > ن

^{ن ل _ر = ن ( ن – 1 ) ( ن –2 ) x 0000 x ( ن – ر + 1 )}
2- مضروب ن = ن = ^ن ل _ر = ن ( ن –1 ) ( ن –2 ) x 00000 x 3 x 2

3- ^نل _ر =

4- ^نل₀ = 1 ، = 1

تذكر أن : عدد صحيح موجب = هذا العدد x العدد –1

فمثلاً : ن = ن ن –1 ، ن +1 = ( ن + 1 ) ن –1

، ن –ر+1 = ( ن – ر + 1 ) ن – ر

، ن – ر – 1 = ( ن – ر – 1 ) ن – ر – 2

ثانياً : التوافيق :

تعريف ( 1 ) التوفيق هو : كل مجموعة يمكن تكوينها من مجموعة من الأشياء مأخوذة كلها أو بعضها بصرف النظر عن ترتيبها .

( 2 ) ^نق _ر هو عدد المجموعات الجزئية التي كل منها تشتمل على " ر " من العناصر من مجموعة بها " ن " من العناصر .

قوانين التوافيق: بفرض ن ، ر э ص+

( 1 ) عدد التوافيق الناتجة من اختيار "ر" عنصرين من بين "و" عنصر حث : ر ≥ ن

^{ن ق_ر = ^ن ل _ر =}
( 2 ) قانون التبسيط : ^ن ق_ر = ^ن ق _ن-_ر

فمثلا ^ن+1 ق _ن-2 = ^ن+1ق _{(ن+1) – (ن-2)} = ^ن+1ق₃

، ¹⁰ق₈ = ¹⁰ق _(10-8)= ¹⁰ق₂ = 10 × 9 = 45

2 × 1

( 3 ) إذا كان ^ن ق _س = ^ن ق _ص ^{س = ص}

س+ص = ن

( 4 ) قانون النسبة :

ن ق _ر = ن – ر +1
^{ن ق _ر-1 ر
فمثلا ^ن ق ₉ = ن-9 +1 ،
^ن ق ₈ 9
= ن-ر₊₁₀ × ن- (ر-1) + 1
ر ر – 1}

( 5 ) قانون الجمع ( قانون الكوفي )

^{ن ق _ر + ^ن ق _ر+1 = ^ن+1 ق _ر+1
( 6 ) ^ن ق ^ن = ^ن ق₀ = 1
مسائل على التباديل :
مثال (1) أوجد قيمة كل من : ¹⁰ل₂ ، ⁸ل₀ ، ²⁰ل₁ ، ¹²ل₂
الحل ¹⁰ل₂ = 10×9 = 90 ، ⁸ل₀ =1 ، ²⁰ل₁ = 20
^{12ل₃ = 12 × 11 × 10 = 1320
مثال (2) أوجد قيمة 10 ، 4

7

الحل 10 = 10 × 9 8 = 10×9 = 90
8
4 = 4 = 1 = 1

7 7×6×5× 4 7×6×5 210
مثال (3) اثبت أن : 4 3 + 3 0 + 4 = 72
ن 4 8 2 40
الحل : الطرف الأيمن : 4 3 + 3×1 + 4×3 2
5 ×4 3 4×3×2×1 8 2
= 1 + 1 + 3 = 8+5+10

5 8 2 40
= 73

40
مثال (4) إذا كان ¹⁰ل _ر = 720 فما قيمة ر+1
الحل : ¹⁰ل_ر= 10 × 9 × 8 = ¹⁰ل₃ ر = 3
ر+1 = 3+1 = 4 = 4×3×2×1 = 24
مثال (5)
إذا كان ^ن ل₄ = 90 × ^ن-2 ل₂ فما قيمة ن
الحل : ن = (ن-1) (ن-2) (ن-3) = 90 × (ن-2) (ن-3)
ن (ن-1) =90 ^ن ل₂ = 10×9 = ¹⁰ل₂ ن= 10
مثال ( 6 )
إذا كان ^م+نل₂ = 90 ، ^م-ن ل₂ = 30
فأوجد قيمة م+ن
م-ن
الحل : ^م+نل₂ = 10×9 ^م+ن ل₂ = ¹⁰ل₂ م+ن = 10 (1)
^{م-ن ل₂ = 6×5 = ⁶ل₂ م-ن = 6 … (2)
من (1) ، (2) بالجمع 2م = 16 م = 8
بالطرح 2 ن = 4 ن = 2
8=2 = 10 = 10×9×8×7×6 = 5,40
8-2 6 6
مثال (7)
إذا كان 1 + 1 = ²ن+3ن+14
ن ن+1 ن+2
فما قيمة ن
الحل : بضرب الطرفين في 5+2
5+2 + 5+2 = ²ن+3ن+14
ن ن+1
(ن+2) (ن+1) ن + (ن+2) ن+1 = ²ن+3ن+14
ن ن+1
(ن+2)(ن+1)+ ن+2 = ²ن+3ن+14
^{2ن+3ن+2+ن+2 = ²ن+3ن+14
4ن+4 =2ن+14 4ن-2ن = 14-4
ن = 10}}}}

تذكر أن :

الاهتمام بتدريس الرياضيات هو اهتمام بنمو الفكر الإنساني ونزعته إلى الدقة واكتشاف قواعد موضوعية يستند إليها الإنسان في إثبات صحة ما تقدم له رمضان السطرى ،

مسائل على التوافيق : -

مثال (1) أوجد قيمة كل من ⁸ق _م ، ⁶ق₀ ، ⁴⁰ق₃₉

الحل : ⁸ق₃ = ⁸ل₃ = 8×7×6 = 8×7 = 56

3×2×1

مثال (2) أوجد عدد المجموعات الجزئية التي عدد عناصر كل منها 3

والمحتواه س = { 2 ، 5 ، 8 ، 11 ، 7 }

الحل : عدد المجموعات الجزئية ⁵ق₃ = 5×4×2 = 10

3×2×1

مثال (3) إذا كان ²⁰ق _ر = ²⁰ ق _ر+2فأوجد قيمة ر

:. ²⁰ ق _ر = ²⁰ ق _ر+2

الحل : ر = ر+2 وهذا مرفوض

أ ، 20 = ر+ر+2 18 =2ر ر = 9

مثال (4) إذا كان ¹⁷ق _ر = 17 ق _2ر-19فأوجد قيمة ^رق _ر-2

الحل :. ¹⁷ق_ر = ¹⁷ ق _ر-19 ر = 2ر-19 ر = 19

ولكن ر = 19 مرفوض لأن 19 ، 17

أما ر+2ر-19= 17 3ر =36 ر = 12

^رق _ر-2 = ¹²ق₁₀ = ¹²ق_12-1= ¹²ق₂ = 12×11 = 66

2 × 1

مثال (5)إذا كان ¹²ق_س = ¹²ق _س2 فأوجد قيمة س

الحل :. ¹²ق _س = ¹²ق _س2 س = س² س² س = 0

س ( س-1) =0 س =0 أو س=1

أما س+س2 = 12 س2+س-12 = 0

(س+4)(س-3)=0 س= -4 ( مرفوض لأن :

س يجب أن تكون عددا صحيحا موجبا أما س = 3

قيم س = صفر ، س=1 ، س = 3

مثال (6) إذا كان ^ن ق _ن-2 = 45 فما قيمة ن

الحل : باستخدام قانون التبسيط

^ن ق _ن-2 = ^ن ق _ن-(ن-2) = ^ن ق ₂ = 45 ^نل ₂ = 45

2×1

^ن ل ₂ = 45 ×2 =^ن ل ₂ = 90 = 10 × 90 = ¹⁰ل₂ ن = 10

مثال (7) اثبت أن ^ن ق ر + ^ن ق _ر+1 = ^ن+1 ق _ر+1

الحل : الطرف الأيمن :

ن + ن

ر ن-ر ر+ 1 ن-(ر+1)

= (ر+1) ن + (ن-ر) ن

ر+1 ن-ر

= ن (ر+1+ن-ر) = (ن+1) ن

ر+1 ن-ر ر+1 ن-ر

ملاحظــة : القانون السابق = قانون الجمع أو قانون الكوفي

مثال (8) إذا كان ^ن ق₅ = 6 فما قيمة ن

^ن ق ₄ 5

الحل باستخدام قانون النسبة نجد أن

^ن ق ₅ = ن-5+1 = 6
^{ن ق ₄ 5 5
ن – 4 = 6 ن-4 = 6 ن = 10
5 9
مثال (9) إذا كان ^ن ق _ر : ^ن ق _ر+1 : ^ن ق _ر+2 = 2 : 4 : 5 .
فأوجد قيمة كل من ن ، ر
الحل : ^ن ق _ر+1 = 4 ن – (ر+1)+1 = 2
^ن ق _ر 2 ر+1

ن – ر = 2 ن - ر = 2ر+2
ر+1
ن-3ر = 2 … (1) ، ^نق _ر +2 = ن – (ر+2)+1 = 5

^ن ق _ر+1 ر + 2 4
ن – ر –1 = 5 ، ن – 4ر-4 = 5ر+10
ر+2 4
4ن – 9ر = 14 . . . (2) بحل المعادلتين (1) ، (2)
( بضرب (1) في (-4) -4ن +12ر = -8 … (2)
بجمع (1) ، (2) 3ر = 6 ر = 2 وبالتعويض عن ر = 2في 1
ن – 3×2 = 2 ن = 6+2 ن = 8
مسائل عامة على التباديل والتوافيق معا :
مثال (1) إذا كان ^ن ل _ر = 240 ، ^ن ق _ر = 35 فأوجد قيمة كل من ن ، ر
الحل : ن ق ر = ^ن ل _ر = 35 210 = 35
ر ن
6 = 1 ن = 1 ر = 3 ر = 2
ر
^ن ل ₂ = 210 ^ن ل ₃ = 7×6×5 = ⁷ ل ₃ ن = 7
مثال (2) إذا كان م+ن ل3 = 720 ، ن ق 2 = 3 فأوجد
قيمة ^م ق _م-ر حيث م ، ر عددان صحيحان موجبان ، م > ن
الحل : م+ن ل3 = 720 = 10 × 9 × 8 = 10ل3 م + ن = 10 … (1)
^{ن ق ر = 3 ^ن ل ₂ = 3 ^ن ل ₂ = 6 ^ن ل ₂ = 3×2 =³ل₂
2
ر = 3 من (1) م+3 = 10 م = 7
م ق م-ن = 7 ق 7-3 = 7ق4 = 7ق3 ( قانون التبسيط )
7ق3 = 7×6×5 = 35
3×2×1
مثال (3) إذا كان ن ل ر : ن ق ر = 72 فما قيمة ن ق ر
الحل : ^ن ق ر = ^ن ل _ر ^ن ل _ر ÷ ^ن ق _ر = ^ن ل _ر ÷ ن ل _ر = 720
ر ر
ن ل ر × ر = 720 ر = 720 = 6×5×4×3×2×1
^ن ل _ر
ر = 6 ر = 6
9 ق 6 = 9 ق 3 = 9 × 8 × 7 = 84
3×2×1
مثال (4) إذا كان 5 × ن ق 6 = 12 × ن ق 4 فاحسب قيمة ن-3 ل 3
الحل : 5×5ق6 = 12 × 5ق4 5ق6 = 12

5ق4 5
⁵ق₆ × ^ن ق ₅ = 12 { من أجل تطبيق قانون النسبة }
⁵ق₅ نق4 5
5-6+1 × ن-5+1 = 12
6 5 5
5-5 × 5-4 = 12

6 5 5
( ن-5) (ن-4) = 6× 12
(ن-4)(ن-5) = 72 = 9×8 ^(ن-4)ل₂ = 9×8 = ⁹ل₂
5-4=9 ن = 4+9 = 12
^{ن-3 ل₃ = ^13-2 ل₃ = 10×9×8 = 720
لاحظ أن : (ن-4)(ن-5)
مثال (5) : إذا كان ن ق1 + نق3 = 2ق فما قسمة ن
* إذا كان ن ل3 = 4 x ق فما قسمة ن
الحل ن + ن ( ن –1 ) ( 2000 ) = 2 x ن ( ن – 1 )
3 x 2 x 1 2x 1
6ن +( ن – 1 ) ( ن – 2 ) = ن2 – ن
6
ن { 6 + ن2 – 3ن + 3 } = 6 ن ( ن – 1 )
ن2 – 3ن + 2 +6 = 6ن-6 2ن – 9ن + 14 = 0
( ن – 7 ) ( ن – 2 ) = 0 ن = 7 أ ن ن = 2 مرفوض
لأن 2 < 3 حيث في المعطيات المسالة ^ن ق₃
أن ⁵ل_{3 =}4 × ( ن – 1 ) ( ن – 20 ) ( ن – 30 )
3
ن ( ن – 1 ) ( ن – 2 ) = 4 3 × ( ن – 1 ) ( ن – 2 ) ( ن – 3 )
3
ن = 4 ( ن - 3 ) ن = 4 ن – 12 = 12
ن = 4
مثال :- ( 6) ( أ) إذا كان ^ن ق ₈ > ^ن ق ₇ فأثبت أن ن > 15
( أأ ) إذا كان ^ن ل ₈ > ^ن ل ₇ فأوجد أقل قيمة للعدد ن تتفق هذه المتباينة
( الحل ) ( أ ) ^ن ق ₈ > ^ن ق ₇ ^ن ق 8 = 1 ن – 8 + 1 > 1
^ن ق ₇ 8
ن – 7 > 1 ن – 7 > 8 ن > 15
8
( أأ) ^ن ل ₈ > ^ن ل ₇ ^ن ل ₈ > 1 5 ÷ 5 > 1
^ن ل ₇ 5 – 8 5 – 7
5 × ن – 7 > 1 5 × ( ن – 7 ) ن – 8 > 1
ن – 8 ن ن – 8 ن
ن – 7 > 1 ن > 8 أقل قيمة للعدد ن تحقق المتباينة هي – 9
مثال ( 7 )
إذا كان ^س ق₂ = 6 ، ¹⁰ ل _ص = 720 فأوجد قيمة ص – س + 5
الحل ) ^س ق ₂ = 6 ^س ل ₂ = 6 ^س ل ₂ = 12
2
^{س ل ₂ = 4 × 3 = ⁴ ل ₂ س = 4
¹⁰ ل _ص = 720 = ¹⁰ ل _ص = 10 × 9 × 8 = ¹⁰ ل ₃ ص = 3
ص – س + 5 = 3 – 4 + 5 = 4 – 4 × 3 × 2 × 1 = 24
مثال ( 8 ) إذا كان ^ن ل ₄ = 360 ، ن = 24
فأوجد قيمة ^2ن ق _ن
الحل : ^ن ل ₄ = 360 = ^ن ل ₄ = 6 × 5 × 4 × 3 = ⁶ ل ₄
ن = 6 ، ر = 4 × 3 × 2 × 1 = ر = 4
ر = 4
^{2 ن} ق _ر = ^{2 × 6} ق ₄ = ¹² ق ₄ = 12 × 11 × 10 × 9 = 495
4 × 3 × 2 × 1
مثال ( 9) إذا كان العامل الأوسط في مفكوك ^ن ل ₉ = 12 وكان س2 + ن = 25
فأوجد قيمة س
الحل) عدد عوامل ^ن ل ₉ = 9 عوامل
ن ( ن – 1 ) ( ن – 2 ) ( ن – 3 ) ( ن – 4 ) ( ن – 5 ) ( ن – 6 ) ( ن – 7 ) ( ن – 8 )
العامل الأوسط هو العامل الخامس وهو ( ن – 4 )
ن – 4 = 12 ن = 16
ولكن س4 + ن = 25 س2 + 16 = 25 س2 = 9
س = + 3 ولكن س = - 3 مرفوض س = 3
س = 3 = 3 × 2 × 1 = 6}}}}
مثال ( 10 ) حل المعادلة ^{س + 1}ل ₃ = 10 × ^{س – 1} ق ₅ ، س j¥¼Zэ ط

الحل : ( س + 1 ) ( س ) ( س – 1 ) = 10 × ^{س + 1} ل ₅

5

( س + 1 ) ( س ) ( س – 1 ) = 10 × ( س + 1 ) ( س ) ( س – 1 ) ( س-2) (س-3)

5 × 4 × 3 × 2 × 1

12 = ( س – 2 ) ( س – 3 ) 4 × 3 = ^{س – 2} ل ₂

س – 2 ل 2 = 4 ل 2 س – 2 = 4 س = 6